Question

（2013•大连一模）已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y²=2px（p＞0）上，若|

AF

|+|

BF

|=4，线段AB的中点到直线x=

p

2

的距离为1，则p的值为（　　）

A．1

B．1或3

C．2

D．2或6

Answer 1

分析：如图，设AB中点为M，A、B、M在准线l上的射影分别为C、D、N，连接AC、BD、MN．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），根据抛物线定义和梯形的中位线定理，列式并化简整理可得|2-p|=1，解之得p=1或3．

解答：解：分别过A、B作交线l：x=-

p

2

的垂线，垂足分别为C、D，
设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
根据抛物线的定义，得|

AF

|+|

BF

|=|

AC

|+|

BD

|=4
∴梯形ACDB中，中位线MN=

1

2

（|

AC

|+|

BD

|）=2，
可得x₀+

p

2

=2，x 0=2-

p

2

∵线段AB的中点M到直线x=

p

2

的距离为1，可得|x₀-

p

2

|=1
∴|2-p|=1，解之得p=1或3
故选：B

点评：本题给出抛物线的弦AB中点到直线x=

p

2

的距离为1，并且F到A、B的距离之和为4的情况下求抛物线的解析式．着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．