Question

已知数列{a_n}中，a₁=-1，且（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n成等差数列．
（1）设b_n=（n+1）a_n-n+2，求证：数列{b_n}是等比数列．（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n成等差数列可知（n+2）a_n+1=

1

2

（n+1）a_n+

n

2

，把这一关系式代入

bn+1

bn

中，进而可推知

bn+1

bn

=

1

2

，进而可证明数列{b_n}是等比数列
（2）根据（1）中数列{b_n}是等比数列可求得数列{b_n}的通项公式，依据b_n=（n+1）a_n-n+2，进而可求{a_n}的通项公式．

解答：（1）证明：由已知得（n+2）a_n+1=

1

2

（n+1）a_n+

n

2

，
∵b₁=2a₁-1+2=-1，
∴

bn+1

bn

=

(n+2)an+1- (n+1)+2

(n+1)an- n+2

=

1 2 (n+1)an+ n 2 -(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an- n 2 +1

(n+1)an-n+2

=

1

2

∴数列{b_n}是等比数列
（2）由（1）得b_n=-（

1

2

）^n-1，即（n+1）a_n-n+2
=-（

1

2

）^n-1．
∴a_n=-

1

n+1

（

1

2

）^n-1+

n-2

n+1

．

点评：本题主要考查了等比关系的确定．判定的关键是看数列的每一项与前一项的比为同一个常数．