Question

某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多面体的顶点数可以是　　　　　　      

 

Answer 1

答案：30或20
解析：

解：设多面体的面有n个三角形，32－n个五边形，顶点数为V，棱数为E， 则E+2=V+32， 若每个顶点处有3条棱，则 E=V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(160－2n)， 代入得V+2=V+32, 解得V=60, 此时n=－10（舍去）； 若每个顶点处有4条棱，则 E=2V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(80－n)， 代入得2V+2=V+32, 解得V=30, 此时n=20；即有20个三角形和12个五边形； 若每个顶点处有5条棱，则 E=V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(80－n)， 代入得V+2=V+32, 解得V=20, 此时n=30；即有30个三角形和2个五边形； 若每个顶点处有6条棱，则 E=3V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(80－n)， 代入得3V+2=V+32, 解得V=15, 此时n=35.(舍去)