Question

已知函数f（x）的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．若g（x）=x+m-lnx的保值区间是[2，+∞），则m的值为

ln2

．

Answer 1

分析：根据g（x）的保值区间得到m的取值范围，求出函数的导函数的增减区间，2≤1-m即m≤-1时，则g（1-m）=2得m的值即可．

解答：解：∵g′（x）=1-

1

x

＞0，得x＞1
所以g（x）在（1，+∞）上为增函数，同理可得g（x）在（0，1）上为减函数．
又因为g（x）=x+m-lnx的保值区间是[2，+∞），则定义域为[2，+∞）
所以函数g（x）在[2，+∞）上单调递增
g（x）_min=g（2）=2+m-ln2=2
所以m=ln2．
故答案为：ln2．

点评：本题主要考查学生求函数定义域、值域的能力，以及利用导数研究函数增减性的能力，属于中档题．