Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上任意一点，张角F₁PF₂=120°，若半长轴与半焦距为方程4x²-32x+15=0的两根，则△F₁F₂P的内接圆周长为（　　）

• A．14

  3

  π
• B．7

  3

  π
• C．9

  3

  π
• D．21

  3

  π

Answer 1

分析：解题中一元二次方程，得a=7.5且c=0.5，从而得到|PF₁|+|PF₂|=2a=15，焦距|F₁F₂|=1．△F₁F₂P中利用余弦定理列式，解出|PF₁|•|PF₂|=224，从而算出△PF₁F₂的面积S=56

3

．再利用三角形的面积公式列出关于内切圆半径r的等式，解出r=2

3

即可算出△F₁F₂P的内接圆周长．

解答：解：∵半长轴与半焦距为方程4x²-32x+15=0的两根，
∴解此方程，可得半长轴a=7.5，半焦距c=0.5
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，根据椭圆的定义得m+n=2a=15
又∵椭圆上点P满足∠F₁PF₂=120°，
∴由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos120°
即1²=m²+n²+mn，配方可得（m+n）²=1+mn=225，得mn=224
因此△PF₁F₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin120°=

1

2

×224×

3

2

=56

3

设△F₁F₂P的内接圆半径为r，则
S=

1

2

（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）r=56

3

，即

1

2

×16r=56

3

，r=7

3

∴△F₁F₂P的内接圆周长为2πr=14

3

故选：A

点评：本题着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单性质、三角形面积公式、余弦定理和三角形内切圆半径的求法等知识，属于中档题．