Question

某校高三数学理科组有10名教师，其中4名女老师；文科组有5位老师，其中3位女老师．现在采取分层抽样的方法（层内采用不放回简单随机抽样）从文、理两科中抽取3名教师进行“标、纲、题”测试．
（1）求从文、理两科各抽取的人数．
（2）求从理科组抽取的教师中恰有1名女教师的概率．
（3）记ξ表示抽取的3名教师中男教师人数，求ξ的概率分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）根据分层抽样的定义和方法，可得抽样比为2：1，可得从理科组、文科组分别抽取的教师数．
（2）记A为事件：从理科组抽取的教师中恰有1名女教师，则P(A)=

C 1 4 C 1 6

C 2 10

，运算求得结果．
（3）ξ的可能取值有0，1，2，3，分别求得求得P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=2）、P（ξ=3）的值，即可得到ξ的概率分布列．
再根据ξ的概率分布列及数学期望的定义，求得ξ的期望．

解答：解：（1）由于理科有10名教师，文科组有5名教师，抽样比为2：1，所以从理科组抽取2名教师，文科组抽取1名教师．…（2分）
（2）记A为事件：从理科组抽取的教师中恰有1名女教师，则P(A)=

C 1 4 C 1 6

C 2 10

=

8

15

…（6分）
（3）ξ的可能取值有0，1，2，3，求得P(ξ=0)=

C 2 4 C 1 3

C 2 10 C 1 5

=

2

25

，P(ξ=1)=

C 2 4 C 1 2

C 2 10 C 1 5

+

C 1 6 C 1 4 C 1 3

C 2 10 C 1 5

=

28

75

，
P(ξ=3)=

C 2 6 C 1 2

C 2 10 C 1 5

=

2

15

，P(ξ=2)=1-

2

25

-

8

75

-

2

15

=

31

75

，可得ξ的概率分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	2 25	28 75	31 75	2 15

…（11分）
∴E(ξ)=…=

8

5

…（13分）

点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，分层抽样的定义和方法，离散型随机变量及其分布列，随机变量的数学期望，属于中档题．