Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即 ，

化简得，y2=2|x|+2x．

∴点M的轨迹C的方程为 ；

（2）解：在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．

依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．

由方程组 ，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．

①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得 ．

故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（ ）．

②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．

设直线l与x轴的交点为（x0，0），

则由y﹣1=k（x+2），取y=0得 ．

若 ，解得k＜﹣1或k＞ ．

即当k∈ 时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，

故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．

若 或 ，解得k=﹣1或k= 或 ．

即当k=﹣1或k= 时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．

当 时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．

故当k=﹣1或k= 或 时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．

若 ，解得﹣1＜k＜﹣ 或0＜k＜ ．

即当﹣1＜k＜﹣ 或0＜k＜ 时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．

此时直线l与C恰有三个公共点．

综上，当k∈ ∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；

当k ∪{﹣1， }时，直线l与C恰有两个公共点；

当k∈ 时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．

【解析】（1）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（2）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（1）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到 ．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．