Question

已知函数f(x)=2-

1

x

，a1=

3

2

，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式（不用证明）；
（2）试证明：对任意n∈N^*，a₁，a_n，

1

an

不可能成等差数列．

Answer 1

分析：（1）由已知可得数列{a_n}的递推公式为，a_n+1=f（a_n）=2-

1

an

，分别令n=2，3，4依次计算求解即可．
（2）假设存在m∈N^*，使得a₁，a_m，

1

am

成等差数列，根据等差数列的定义，a₁+

1

am

=2a_m，通过此关于m的方程解的有误进行判断与证明．

解答：解：（1）由已知可得数列{a_n}的递推公式为，a_n+1=f（a_n）=2-

1

an

求得a2=

4

3

，a3=

5

4

，a4=

6

5

猜想an=

n+2

n+1

(n∈N*)
（2）假设存在m∈N^*，使得a₁，a_m，

1

am

成等差数列，则a₁+

1

am

=2a_m，
即

3

2

+

m+1

m+2

=2×

m+2

m+1

，即

5m+8

2(m+2)

=

2(m+2)

m+1

所以m²-3m-8=0，该方程没有正整数解，所以假设不成立，
所以对任意n∈N^*，a₁，a_n，

1

an

不可能成等差数列．

点评：本题考查数列递推公式，通项公式的基本知识和计算技能，考查了反证法．属于基础题．