Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC,△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD=8,AB=2DC=.

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD;

（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积.

Answer 1

（Ⅰ）证明：在△ABD中，

            由于AD=4,BD=8,AB=，

            所以AD²+BD²=AB².

            故   AD⊥BD.

           又  平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD,平面ABCD，

所以  BD⊥平面PAD,

又    平面MBD，

故     平面MBD⊥平面PAD.

（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，

由于  平面PAD⊥平面ABCD，

所以   PO⊥平面ABCD.

因此   PO为四棱锥P-ABCD的高，

又    △PAD是边长为4的等边三角形，

因此 

在底面四边形ABCD中，AB∥DC,AB=2DC,

所以   四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为

此即为梯形ABCD的高，

所以   四边形ABCD的面积为.

故