Question

(本小题满分13分)

已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和；

（3）设函数若对任意的都成立，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ

。

（2）；（3）t<1。

【解析】

试题分析：（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ

 （3分）

（2）S_n=a₁+a₂+……+a_n

（6分）

（3）b_n=a_n·a_n+1

∴当n为奇数时

     （9分）

当n为偶数时

（12分）

综上所述，t的取值范围为t<1                     （13分）

考点：等比数列的定义；数列通项公式的求法；数列前n项和的求法。

点评：若已知递推公式为的形式求通项公式常用累加法。

注：①若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。