题目内容

设a＜0,证明：f(x)=取得极大值和极小值的点各1个.

证明：f′(x)=

=,令f′(x)=0,即ax2+2bx-a

=0,①.

∵Δ=4b2+4a2＞0,∴方程①式有两个不相等的实根，记为x1、x2，不妨设x1＜x2,则有f′(x)=a(x-x1)(x-x2),f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x

(-∞,x1)

x1

(x1,x2)

x2

(x2,+∞)

f′(x)

-

0

+

0

-

f(x)

极小

极大

由表可见，f(x)取极大值和极小值的点各一个.

练习册系列答案
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设a＞0，函数f（x）=
ax+bx2+1
，b为常数．
（1）证明：函数f（x）的极大值点和极小值点各有一个；
（2）若函数f（x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值．
设a＞0，函数f(x)=
1
x2+a
．
（Ⅰ）证明：存在唯一实数x0∈(0，
1
a
)，使f（x0）=x0；
（Ⅱ）定义数列{xn}：x1=0，xn+1=f（xn），n∈N*．
（i）求证：对任意正整数n都有x2n-1＜x0＜x2n；
（ii） 当a=2时，若0＜xk≤
1
2
(k=2，3，4，…)，证明：对任意m∈N*都有：|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．
（2012•安庆模拟）设a＞0，函数f（x）=lnx-ax，g（x）=lnx-
2(x-1)x+1

（1）证明：当x＞1时，g（x）＞0恒成立；
（2）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）有两个相异零点x1、x2，求证：x1x2＞e2．

设a＜0

证明：f(x)＝取得极大值和极小值的点各1个．

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