Question

已知函数f(x)=

1

x2-4

(x＜-2)，点An(-

1

an+1

，an)在曲线y=f（x）的图象上（n∈N^*），且a₁=1．
（1）证明数列{

1

an2

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式
（3）设b_n=

1

1 an + 1 an+1

，记S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）把点An代入函数f（x）中化简整理

1

an2

=

1

an+12

-4判断出数列{

1

an2

}为等差数列．
（2）先根据数列{

1

an2

}为等差数列，并且首项为

1

a12

=1，公差为4，求得

1

an2

，进而求得数列{a_n}的通项公式
（3）把（2）中求得a_n代入b_n中，进而用叠加法求得数列的前n项的和．

解答：解：（1）∵点An(-

1

an+1

，an)在曲线y=f（x）的图象上（n∈N^*）
∴a n=

1

(- 1 an+1 )2-4

=

an+12 1-4an+12

∴a

2 n

=

an+12

1-4an+12

∴

1

an2

=

1

an+12

-4，∴

1

an+12

-

1

an2

=4(n≥1，n∈N)，
∴数列{

1

an2

}为等差数列．
（2）∵数列{

1

an2

}为等差数列，并且首项为

1

a12

=1，公差为4，
∴

1

an2

=1+4（n-1），∴an2=

1

4n-3

，
∵a_n＞0，∴an=

1

4n-3

，
（3）b_n=

1

1 an + 1 an+1

=

1

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

4

，
∴S_n=b₁+b₂++b_n
=

5 -1

4

+

9 - 5

4

++

4n+1 - 4n-3

4

=

4n+1 -1

4

点评：本题主要考查了数列等差关系的确定和通项公式．解题的基础是对数列公式的熟练掌握．