Question

在空问四边形ABCD中，△ABD、△CBD都是边长为1的正三角形，且平面ABD⊥平面CBD．E、F、G、H为空间四边形AB、AD、CD、BC边上的中点，则四边形EFGH的面积是

6

8

．

Answer 1

分析：取BD的中点为O，连接AO，CO，依题意，可知BD⊥平面AOC⇒BD⊥AC；从而知四边形EFGH为矩形；易求AC=

6

2

，故FG=

6

4

，EF=

1

2

，从而可求四边形EFGH的面积．

解答：解：依题意，作图如下：
取BD的中点为O，连接AO，CO．
∵△ABD、△CBD都是边长为1的正三角形，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO=O，
∴BD⊥平面AOC，AC?平面AOC，
∴BD⊥AC；
∵E、F、G、H为空间四边形AB、AD、CD、BC边上的中点，
∴EF

∥

.

GH

∥

.

1

2

BD=

1

2

，FG

∥

.

EH

∥

.

1

2

AC，
∵BD⊥AC，故EF⊥FG，即四边形EFGH为矩形；
在等腰直角三角形AOC中，AC²=AO²+CO²=(

3

2

)2+(

3

2

)2=

3

2

，
∴AC=

6

2

，故FG=

6

4

，
∴四边形EFGH的面积S=EF•FG=

1

2

×

6

4

=

6

8

．
故答案为：

6

8

．

点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的性质的应用，突出运算能力，属于中档题．