Question

函数f（x）=lg（x²-2x-3）的定义域为集合A，函数g（x）=2^x-a（x≤2）的值域为集合B．
（1）求集合A，B；
（2）若集合A，B满足A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解一元二次不等式求得A，再由x≤2，指数函数的单调性求得 函数g（x）的值域B．
（Ⅱ）由A∪B=A可得B⊆A，从而得到4-a＜-1或-a≥3，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）A={x|x²-2x-3}={x|（x-3）（x+1）＞0}={x|x＜-1，或 x＞3}，
再由x≤2，可得 0＜2^x≤2²=4，∴函数g（x）=2^x-a≤4-a，求g（x）=2^x-a＞0-a=-a．
故B=（-a，4-a]．
（Ⅱ）∵A∪B=A；∴B⊆A，∴4-a＜-1或-a≥3，解得 a＞5或a≤-3，
∴实数a的取值范围为{a|a＞5，或a≤-3}．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，指数函数的单调性的应用，求函数的值域，两个集合间的包含关系，属于基础题．