Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F（c，0）是它的右焦点，经过坐标原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，且

FA

•

FB

=0，|

OA

-

OB

|=2|

OA

-

OF

|，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  2

  -1
• D、

  3

  -1

Answer 1

分析：先由题意知：O是AB的中点，三角形ABF是直角三角形，再结合向量条件，得出△FAO为等边三角形，从而△AFF₁为直角三角形（F₁为椭圆的左焦点），最后在Rt△AFF₁中，利用边之间的关系结合椭圆的定义得到a，c的关系，从而求得椭圆的离心率．

解答：解：由题意知：O是AB的中点，三角形ABF是直角三角形，
|

OA

-

OB

|=2|

OA

-

OF

|⇒|

OA

|=|

AF

|
△FAO为等边三角形，
故△AFF₁为直角三角形（F₁为椭圆的左焦点）
在Rt△AFF₁中，AF=c，FF₁=2c，∴AF₁=

3

c
∵AF+AF₁=2a，∴c+

3

c=2a，
则椭圆的离心率为

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1
故选D．

点评：本题主要考查椭圆离心率的求法．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．