Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+alnx（a∈R）
（1）若f（x）[1，e]上是增函数，求a的取值范围；
（2）若a=1，a≤x≤e，证明：f（x）＜

2

3

x³．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=

1

2

x²+alnx在[1，e]上是增函数，则f′(x)=x+

a

x

≥0在[1，e]上恒成立，由此转化为函数恒成立问题，并用参变量分离转化为a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．
（2）根据题中条件，a=1求出函数f（x）的解析式，将不等式变形，构造一个新的函数F（x），再根据F（x）的导函数在[1，e]上恒小于0，所以得到F（x）单调递减，从而求出F（x）在[1，e]上的最值小于0，即可证得f（x）＜

2

3

x³．

解答：解：（1）f′(x)=x+

a

x

，且在[1，e]上是增函数，
∴f′(x)=x+

a

x

≥0恒成立，即a≥-x²在[1，e]上恒成立，
∴a≥-1                          …（6分）
（2）证明：当a=1时，f（x）=

1

2

x2+lnx，x∈[1，e]，
令F（x）=f（x）-

2

3

x3=

1

2

x2+lnx-

2

3

x3，
∴F′(x)=x+

1

x

-2x2=

(1-x)(1+x+2x2)

x

≤0，
∴F（x）在[1，e]上是减函数，
∴F(x)≤F(1)=

1

2

-

2

3

＜0．
∴x∈[1，e]时，f(x)＜

2

3

x3．…（12分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，已知函数的单调区间可以将问题转化为该单调区间上的恒成立问题，恒成立问题解决的基本思路是参变量分离．本题还涉及了构造新函数的思想以及用作差法比较两个数的大小问题，要能利用导数求出某区间上的最值问题．属中档题．