Question

相交成90°角的两条直线和一个平面所成的角分别为30°和45°，则这两条直线在该平面上的射影所成锐角为

arccos

3

3

．

Answer 1

分析：设两条直线分别为AC、BC，与平面α成30°角和45°角如图，作CC₁⊥α于C₁，连接AC₁、BC₁．设CC₁=1，则可在△AC₁B中求得AC₁、BA、C₁B的长，从而用余弦定理求出∠AC₁B的大小，得到AC、BC在平面α上的射影所成锐角．

解答：解：设∠ACB=90°，A、B在α内且CA、CB分别与平面α成30°角和45°角，
作CC₁⊥α于C₁，连接AC₁、BC₁，则AC₁、BC₁就是AC、BC在平面内α的射影
∴∠CAC₁=30°，∠CBC₁=45°
设CC₁=1，则Rt△CAC₁中，CA=2，AC₁=

3

，Rt△CBC₁中，CB=

2

，BC₁=1
∵∠ACB=90°，∴AB=

AC2+BC2

=

5

在△AC₁B中，cos∠AC₁B=

3+1-5

2× 3 ×1

=-

3

3

，可得∠AC₁B=arccos（-

3

3

）
∴AC₁、BC₁所成的锐角等于arccos

3

3

故答案为：arccos

3

3

点评：本题给出Rt△ABC的两直角边AC、BC与平面α所成角的大小，求它们在平面α内的射影所成的锐角，着重考查了直线与平面所成角的定义、余弦定理和反三角函数等概念，属于基础题．