Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：AB⊥PB；
（3）若PC=BC，求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

分析：（1）由D，E分别是AB，PB的中点，结合三角形中位线定理和线面平行的判定定理可得DE∥平面PAC；
（2）由线面垂直的性质，可得PC⊥AB，结合AB⊥BC和线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PBC，再由线面垂直的性质可得AB⊥PB；
（3）由（2）知，AB⊥PB，AB⊥BC，故∠PBC即为二面角P-AB-C的平面角，解△PBC可得答案．

解答：证明：（1）∵D，E分别是AB，PB的中点
∴DE∥PA
又∵PA?平面PAC，DE?平面PAC
∴DE∥平面PAC；
（2）∵PC⊥底面ABC，AB?底面ABC，
∴PC⊥AB
又∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC
∴AB⊥平面PBC
又∵PB?平面PBC
∴AB⊥PB；
解：（3）由（2）知，AB⊥PB，AB⊥BC，
∴∠PBC即为二面角P-AB-C的平面角
∵PC=BC，∠PCB=90°
∴∠PBC=45°
∴二面角P-AB-C的大小为45°

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，解答（1）（2）的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质，解答（3）的关键是求出二面角的平面角．