Question

已知函数f(x)=

3

sin2x+sinxcosx-

3

2

(x∈R)．
（1）若x∈(0，

π

2

)，求f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，若A＜B，f（A）=f（B）=

1

2

，求

BC

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据x的范围，确定-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

，然后求出函数的最大值．
（2）利用A＜B，f（A）=f（B）=

1

2

，求出A，B的大小，然后求出C的值，利用正弦定理求出

BC

AB

的值．

解答：解：（1）f（x）=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）
∵x∈(0，

π

2

)∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

．
∴当-2x-

π

3

=

π

2

时，即x=

5π

12

时，f（x）的最大值为1．
（2）由f（x）=sin（2x-

π

3

），
若x是三角形的内角，则0＜x＜π，
∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

5π

3

．
令f（x）=

1

2

，得sin（2x-

π

3

）=

1

2

，
∴2x-

π

3

=

π

6

或2x-

π

3

=

5π

6

，
解得x=

π

4

或x=

7π

12

．
由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且f（A）=f（B）=

1

2

，
∴A=

π

4

，B=

7π

12

，
∴C=π-A-B=

π

6

．
又由正弦定理，得

BC

AB

=

sinA

sinC

=

sin π 4

sin π 6

=

2 2

1 2

=

2

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数在闭区间上的最值的求法，正弦定理的应用，考查计算能力．