Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A-B）=3sin2B．若C=

π

3

，则

a

b

=（　　）

• A．

  1

  2

• B．3
• C．

  1

  2

  或3
• D．3或

  1

  4

Answer 1

分析：根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA-3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得

a

b

的值．

解答：解：∵A+B=π-C，
∴sinC=sin（π-C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
又∵sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB，
∴sinC+sin（A-B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB-cosAsinB）=6sinBcosB，
化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA-3sinB）=0
解之得cosB=0或sinA=3sinB．
①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=

π

2

，
∵C=

π

3

，∴A=

π

2

-C=

π

6

，
因此sinA=sin

π

6

=

1

2

，由三角函数的定义得sinA=

a

b

=

1

2

；
②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以

a

b

=3．
综上所述，

a

b

的值为

1

2

或3．
故选：C

点评：本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．