Question

（2008•黄冈模拟）在正项等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，在正项等比数列{b_n}中，前n项和为T_n，若a₁₅=b₅，a₃₀=b₂₀，则

S30-S15

T20-T5

∈（　　）

• A．（0，1）
• B．（

  1

  2

  ，1）
• C．[1，+∞]
• D．[

  1

  2

  ，2]

Answer 1

分析：根据等差数列{a_n}是正项等差数列得d≥0，再分两类：当d=0时和当d＞0时；当d=0时，结合条件得a_n=b_n，再得

S30-S15

T20-T5

=1；当d＞0时，结合条件判断出公比q＞1，再由等差和等比数列的前n项和公式，分别求出S₃₀-S₁₅和
T₂₀-T₅，且都用b₅来表示，再进行做商化简得

7+8q15

q+q2+…+q15

，根据q的范围进行放缩即可．

解答：解：由正项等差数列{a_n}知，d≥0，
①当d=0时，则a₁₅=b₅=a₃₀=b₂₀，即a_n=b_n，
∴

S30-S15

T20-T5

=1，
②当d＞0时，则a₁₅＜a₃₀，
∵a₁₅=b₅，a₃₀=b₂₀，∴b₅＜b₂₀，
则正项等比数列{b_n}的公比q＞1，
∵数列{a_n}是等差数列，∴S₃₀-S₁₅=a₁₆+a₁₇+…+a₃₀
=a₁₅+a₁₆+a₁₇+…+a₃₀-a₁₅=

16×(a15+a30)

2

-a15
=7a₁₅+8a₃₀=7b₅+8b₂₀=（7+8q¹⁵）×b₅，
又∵{bn}是等比数列，
∴T₂₀-T₅=

b1(1-q20)

1-q

-

b1(1-q5)

1-q

=

b1(q5-q20)

1-q

=

b5(q-q16)

1-q

，
∴

S30-S15

T20-T5

=

(7+8q15)×b5

b5(q-q16) 1-q

=

(7+8q15)

q(1-q15) 1-q

=

7+8q15

q+q2+…+q15

，
∵q＞1，∴

7+8q15

q+q2+…+q15

＞

15q15

15q15

=1
综上得，

S30-S15

T20-T5

≥1，
故选C．

点评：本题考查了等差和等比数列的前n项和公式的灵活应用，以及放缩法在证明不等式中的应用，难度较大，需要有较强的分析问题和解决问题的能力，可作为压轴题．