Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E=λEO．
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD₁所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer 1

分析：本题背景是一个正方体，故可以建立空间坐标系解题，以以

DA

，  

DC

，  

DD1

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，写出各点的坐标，
（1）求出异面直线DE与CD₁的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值）
（2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0，由此方程求参数λ的值即可．

解答：解（1）不妨设正方体的棱长为1，以

DA

，  

DC

，  

DD1

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），O(

1

2

，  

1

2

，  0)，C（0，1，0），D₁（0，0，1），
E(

1

4

，  

1

4

，  

1

2

)，
于是

DE

=(

1

4

，  

1

4

，  

1

2

)，

CD1

=(0，  -1，  1)．
由cos?

DE

，  

CD1

＞=

DE • CD1

| DE| •| CD1 |

=

3

6

．
所以异面直线AE与CD₁所成角的余弦值为

3

6

．（5分）
（2）设平面CD₁O的向量为m=（x₁，y₁，z₁），由m•

CO

=0，m•

CD1

=0
得

1 2 x1- 1 2 y1=0 -y1+z1=0

取x₁=1，得y₁=z₁=1，即m=（1，1，1）．（7分）
由D₁E=λEO，则E(

λ

2(1+λ)

，  

λ

2(1+λ)

，  

1

1+λ

)，

DE

=(

λ

2(1+λ)

，  

λ

2(1+λ)

，  

1

1+λ

)．
又设平面CDE的法向量为n=（x₂，y₂，z₂），由n•

CD

=0，n•

DE

=0．
得

y2=0 λx2 2(1+λ) + λy2 2(1+λ) + z2 1+λ =0

取x₂=2，得z₂=-λ，即n=（-2，0，λ）．
因为平面CDE⊥平面CD₁F，所以m•n=0，得λ=2．（10分）

点评：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线，面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度．