Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃（1-S_n+1），求适合方程的n的值．
（Ⅲ）记c_n=（n-2）•a_n，是否存在实数M，使得对一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 当n=1时，可求出a₁，当n≥2时，，两式相减可得从而{a_n}是以为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式；
（Ⅱ）先求出b_n的通项公式，根据可求出的值，从而求出n的值；
（III）先求出c_n的通项公式，然后根据c_n+1-c_n=-=≥0得n≤从而求出实数M，使得对一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，最后求出最小值即可．
解答：解：（Ⅰ） 当n=1时，a₁=S₁，由，得．
当n≥2时，，，
∴，
即．
∴．
∴{a_n}是以为首项，为公比的等比数列．
故．  …（6分）
（Ⅱ）1-S_n=a_n=，b_n=log₃（1-S_n+1）=log₃=-n-1，…（8分）

…（10分）
解方程得n=100…（12分）
（III）解：c_n=（n-2）•a_n=，
由c_n+1-c_n=-=≥0得n≤
∴c₃＞c₂＞c₁，
当n≥3时，c_n+1＜c_n即c₃＞c₄＞c₅＞…，又c₃=
故存在实数M，使得对一切n∈N^*，c_n≤M恒成立M的最小值为．
点评：本题主要考查了数列的判定，以及利用裂项求和法求和，同时考查了数列的函数特性，属于中档题．