Question

已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），设数列|x_n|由f（x_n）=n（n=1，2，…）定义．
（1）求x₁、x₂和x_n的表达式；
（2）计算；
（3）求f（x）的表达式，并写出其定义域；

Answer 1

【答案】分析：1）依题意f（0）=0，又由f（x₁）=1，当0≤y≤1时，x₁=1．又由f（x₂）=2，当1≤y≤2时，由此入手结合题意可求出
（2）当b＞1时，；当0＜b＜1时，n→∞，x_n也趋向于无穷大．
（3）分类讨论可知当b＞1时，y=f（x）的定义域为；当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）．
解答：（1）解：依题意f（0）=0，又由f（x₁）=1，当0≤y≤1时，
函数y=f（x）的图象是斜率为b=1的线段，
故由
得x₁=1．
又由f（x₂）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，
故由，
即得
记x=0．由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为b^n-1，
故得
又f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1，∴
由此知数列{x_n-x_n-1}为等比数列，其首项为1，公比为
因b≠1，得，
即
（2）解：由（1）知
当b＞1时，；
当0＜b＜1时，n→∞，x_n也趋向于无穷大．
（3）解：由（1）知：
当0≤x≤1时，y=x．即当0≤x≤1时，f（x）=x；
当n≤y≤n+1时，即x_n≤x≤x_n-1时，
由（1）可知，f（x）=n+bⁿ（x-x_n）（n=1，2，）．
由（2）知：当b＞1时，
y=f（x）的定义域为；
当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）．
点评：本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．