Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+1=4a_n-2，且a₁=2．
（Ⅰ） 求证：对任意n∈N^*，a_n+1-2a_n为常数C，并求出这个常数C；
（Ⅱ）如果，求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n+1=4a_n-2，且S_n=4a_n-1-2，相减得：a_n+1=4（a_n-a_n-1），（3分）
a_n+1-2a_n=2（a_n-a_n-1），∴a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）•2^n-1．
又a₂+a₁=4a₁-2，∵a₁=2，∴a₂=4．∴a_n+1-2a_n=0．
∴C=0．…（6分）
（Ⅱ）∵，
∴=．
，
所以数列{b_n}是等比数列，
∴=…（12分）
分析：（Ⅰ） 利用S_n+1=4a_n-2，与S_n=4a_n-1-2，推出a_n+1-2a_n=（a₂-a₁）•2^n-1．
通过a₂+a₁=4a₁-2，a₁=2，推出a₂=4．得到C=0．
（Ⅱ）利用，求出数列{b_n}的通项公式，然后求出数列前n项的和．
点评：本题考查数列通项公式的应用，数列求和，考查计算能力．