Question

已知数列{a_n}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a₃=5，S₃=9
（1）求首项a₁和公差d；
（2）若存在数列{b_n}，使a₁b₁+a₂b₂+L+a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹对任意正整数n都成立，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式，进行求解；
（2）已知a₁b₁+a₂b₂+L+a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹，可以把等式两边n换为n-1，然后两式相减，可以推出b_n的通项公式，再求出数列{b_n}的前n项的和T_n．

解答：解：（1）由题意可得

a1+2d=5 3a1+ 3(3-1) 2 d=9

，解得

a1=1 d=2

；
（2）由题意得，当n≥2时，有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹，①
又a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=5+（2n-5）2ⁿ，②
①-②得，a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹-[5+（2n-5）2ⁿ]=（2n-1）2ⁿ，
∴当n≥2时，b_n=2ⁿ，
又当n=1时，a₁b₁=5+（2×1-3）2²=1，∴b₁=1；
∴b_n=

1，n=1 2n，n≥2

；
当n≥2时，T_n=1+4+8+…+2ⁿ=1+

4(2n-1-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-3，
又当n=1时，T₁=1，符合上式，
T_n=2ⁿ⁺¹-3；

点评：此题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质，前n项求和的问题，是一道中档题，计算时要仔细；