题目内容

若关于x的三次函数f（x）=x3-ax2-a2x+1在R上不单调的充分不必要条件是
 
（填一个你认为正确的结论）．
分析：根据导数和函数单调性之间的关系求出函数不单调的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
解答：解：函数的导数f'（x）=3x2-2ax-a2，
要使三次函数f（x）=x3-ax2-a2x+1在R上不单调，
则函数f（x）存在极值，
即f'（x）=3x2-2ax-a2，满足△＞0，
∴由△=4a2-4×3×（-a2）=16a2＞0，
∴a≠0，
∴满足条件的一个充分不必要条件可以是a=1．
故答案：a=1．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数单调性和导数之间的关系求出a的取值范围是解决本题的关键．
练习册系列答案
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对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数y=f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
（1）己知f（x）=x3-3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．

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（1）己知f（x）=x3-3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
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