题目内容

已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）．
（1）当 $数学公式$ 时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称为g（x）为f₁（x），f₂（x）的“活动函数”．
已知函数 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；
②当 $数学公式$ 时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（2）①在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活动函数”，则f₁（x）＜f（x）＜f₂（x）
令 $\text{[math]}$ ＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f₁（x）-f（x）= $\text{[math]}$ ＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵ $\text{[math]}$
1）若 $\text{[math]}$ ，令p′（x）=0，得极值点x₁=1， $\text{[math]}$ ，
当x₂＞x₁=1，即 $\text{[math]}$ 时，在（x₂，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合题意；
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
2）若 $\text{[math]}$ ，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ ．
又因为h′（x）=-x+2a- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）= $\text{[math]}$ +2a≤0，所以a≤ $\text{[math]}$
综合可知a的范围是[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
则y=f₂（x）-f₁（x）= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ lnx，x∈（1，+∞）．
因为y′= $\text{[math]}$ ＞0，y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）为增函数，
所以f₂（x）-f₁（x）＞f₂（1）-f₁（1）= $\text{[math]}$ ．
设R（x）=f₁（x）+ $\text{[math]}$ （0＜λ＜1），则f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在区间（1，+∞）上，函数f₁（x），f₂（x）的“活动函数”有无穷多个．
分析：（1）由题意得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．
（2）①由题意得：令 $\text{[math]}$ ＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f₁（x）-f（x）= $\text{[math]}$ ＜0对x∈（1，+∞）恒成立， $\text{[math]}$ 分类讨论当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围．又因为h′（x）=-x+2a- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．
②设y=f₂（x）-f₁（x）= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ lnx，x∈（1，+∞）．因为y′= $\text{[math]}$ ＞0，y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）为增函数，
所以f₂（x）-f₁（x）＞f₂（1）-f₁（1）= $\text{[math]}$ ．设R（x）=f₁（x）+ $\text{[math]}$ （0＜λ＜1），则f₁（x）＜R（x）＜f₂（x）．
点评：本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．