Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-cos2x+a(a∈R)
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为 2sin(2x-

π

6

)+a，故函数f（x）的最小正周期为T=π，由 2x-

π

6

=kπ+

π

2

，
k∈z，求得 对称轴方程．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，f（x）_min=2sin（-

π

6

）+a=-1+a=-2，从而得到a的值．

解答：解：（1）f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-cos2x+a=

3

sin2x-cos2x+a=2sin(2x-

π

6

)+a．
故函数f（x）的最小正周期为T=π，由 2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，
求得 对称轴方程为 x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，f（x）_min=2sin（-

π

6

）+a=-1+a=-2，所以，a=-1．

点评：本题考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的周期性、对称性，定义域和值域，化简函数f（x）的解析式为
 2sin(2x-

π

6

)+a，是解题的突破口，属于中档题．