Question

已知函数y=

m3x+m-2

3x+2

为奇函数
（1）求实数 m的值；
（2）用定义法判断函数f（x）在其定义域上的单调性．

Answer 1

分析：（1）因为函数y=

m3x+m-2

3x+2

为奇函数，所以f（0）=0，由此可求m值；
（2）按照单调性的定义进行判断，步骤为：取值；作差；变形；判号；结论．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R且为奇函数，
∴f（0）=0，∴

m+m-2

3

=0，解得m=1．
所以m=1．
（2）由（1）知：f(x)=

3x-1

3x+2

=1-

3

3x+2

，
设x₁，x₂是定义域R上的任意两个实数且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

3

3x2+2

-

3

3x1+2

=

3(3x1-3x2)

(3x1+2)(3x2+2)

，
∵x₁＜x₂，∴3x1＜3x2，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在定义域R上单调递增．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，准确理解其定义解决该类问题的基础．