Question

已知函数f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

．
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，利用函数奇偶性的定义进行证明．
（2）利用导数求函数的单调区间．

解答：解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称．
∵f（-x）=

(-x) 1 3 -(-x)- 1 3

5

=-

x 1 3 -x- 1 3

5

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（2）∵函数f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

，定义域为{x|x≠0}，
∴f'（x）=

1

5

[(x

1

3

)′-(-x-

1

3

)′]=

1

5

(

1

3

x-

2

3

+

1

3

x-

4

3

)=

1

15

(x-

2

3

+x-

4

3

)，
∵x＞0时，f'（x）＞0，此时函数单调递增．
x＜0时，f'（x）＞0，此时函数单调递增．
∴函数的单调递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的应用，利用导数法是解决函数单调区间的基本方法．