Question

已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且|

MN

|≤1，则

OM

•

ON

的取值范围是

[2-

2

，2)

．

Answer 1

分析：由条件可得

OM

•

ON

≥

OM 2+ ON 2- 1

2

，求出

OM

2+

ON

2的最小值 和最大值，从而求得

OM

•

ON

的最小值．当

OM

和 

ON

的模最大且夹角最小时，

OM

•

ON

 最大，故当M、N和点C重合时，

OM

•

ON

最大等于2，
再由点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，可得

OM

•

ON

的最大小于2，从而得到

OM

•

ON

 的范围．

解答：解：由题意可得

MN

2=(

ON

-

OM

)2=

OM

2+

ON

2-2

OM

•

ON

≤1，
∴

OM

•

ON

≥

OM 2+ ON 2- 1

2

．
设CM=x，CN=y，则 MN²=x²+y²≤1．

OM

2+

ON

2=1+（1-x）²+1+（1-y）²=（1-x）²+（1-y）²+2，
表示单位圆面（x²+y²≤1 ）上的点与点（1，1）连线的距离的平方加上2，
故其最小值为(

2

-1)2+2=5-2

2

，最大值为(

2

+1)2+2=5+2

2

．
故

OM

•

ON

 的最小值等于

OM 2+ ON 2- 1

2

=

5-2 2 -1

2

=2-

2

．
又当

OM

和 

ON

的模最大且夹角最小时，

OM

•

ON

 最大，
故当M、N和点C重合时，

OM

•

ON

最大等于

2

•

2

=2，
再由点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，可得

OM

•

ON

的最大小于2．
故

OM

•

ON

 的范围为[2-

2

，2）．
故答案为[2-

2

，2）．

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，本题属于中档题．