Question

（2006•东城区二模）已知函数f（x）=2

x+1

（x＞-1），曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线l分别交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求x=1时切线l的方程；
（2）求△AOB面积的最小值及此时P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）求x=1时切线l的方程，已知了切点，只需求出切线的斜率即可，故先求导函数，令x=1求出切线的斜率，利用点斜式表示出方程即可；
（2）先表示出△AOB面积，然后利用换元法与导数研究函数的最值，取最值时求出点P的坐标即可．

解答：（本小题满分13分）
解：（1）f′(x)=

1

x+1

．…（3分）
设y₀=f（x₀），过P（x₀，y₀）的切线方程为y-y0=

1

x0+1

(x-x0)．即 y=

x

x0+1

+

x0+2

x0+1

．
∴当x₀=1时，切线l的方程为x-

2

y+3=0．…（6分）
（2）当x=0时，y=

x0+2

x0+1

，当y=0时，x=-x₀-2.S△AOB=

1

2

|

x0+2

x0+1

•(x0+2)|=

(x0+2)2

2 x0+1

．
令

x0+1

=t（t＞0）．则 S△AOB=

(t2+1)2

2t

．S′=

2(t2+1)•2t2-(t2+1)2

2t2

=

(t2+1)•(3t2-1)

2t2

=0．…（10分）
由于t＞0，解得t=

1

3

，
当t＜

1

3

时，S'＜0，当t＞

1

3

时，S'＞0．
∴当t=

1

3

，即

x0+1

=

1

3

时，S取得最小值S△AOB=

8 3

9

．
此时x0=-

2

3

，y0=2

x0+1

=

2 3

3

．
所以△AOB面积的最小值为

8 3

9

，此时P点的坐标为(-

2

3

，

2 3

3

)．…（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用导数研究切线，这类问题是高考中常考得问题，属于中档题！