Question

已知函数f（x）=

1

2

ax2+lnx．
（1）当a=-

1

4

时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）∵f（x）=

1

2

ax2+lnx．
当a=-

1

4

时，f（x）=-

1

8

x2+lnx
∴f′(x)=-

x

4

+

1

x

=

4-x2

4x

=

-(x+2)(x-2)

4x

令f′（x）=0可得x₁=2，x₂=-2
当x∈[1，2]，f′（x）＞0，当x∈[2，e]时，f′（x）＜0
∴函数在区间[1，e]上，有x₁=2时，f(x)max=-

1

2

+ln2，f（x）_min=min{f（1），f（e）}
而f（1）=-

1

8

，f(e)=-

1

8

e2+1＞f(1)=-

1

8

∴f（x）_min=-

1

8

（2）∵f(x)=

1

2

ax2+lnx
∴f′(x)=ax+

1

x

=

ax2+1

x

①当a≥0时，由f′（x）＞0可得，x＞0，由f′（x）＜0可得x＜0
又x＞0
∴f（x）在（0，+∞）单调递增
②当a＜0时，f′(x)=

ax2+1

x

=

a(x- - 1 a )(x+ - 1 a )

x

由f′（x）＞0可得，x∈(-∞，-

- 1 a

)∪(0，

- 1 a

)
由f′（x）＜0可得，x∈(-

- 1 a

，0)∪ (

- 1 a

，+∞)，又x＞0
∴f（x）的单调递增区间（0，

- 1 a

），减区间（

- 1 a

，+∞）