Question

已知直线ax+by=1和点A（b，a）（其中a，b都是正实数），若直线过点P（1，1），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆面积的最小值等于

π

2

．

Answer 1

分析：直线ax+by=1过点P（1，1），则a+b=1，以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆面积的最小时，OA最小，利用基本不等式可求结论．

解答：解：∵直线ax+by=1过点P（1，1），∴a+b=1，
以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆面积的最小时，OA最小，
∵A（b，a），∴OA=

a2+b2

，
∵a²+b²≥2ab，
∴2（a²+b²）≥（a+b）²=1，
∴OA≥

2

2

，
∴以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆面积的最小值等于

π

2

．
故答案为：

π

2

．

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．