Question

已知函数f（x）=ax-3，g（x）=bx^-1+cx^-2（a，b∈R）且g（-

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）-g（1）=f（0）
（1）试求b，c所满足的关系式；
（2）若b=0，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）有唯一解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意将自变量函数的解析式和所给的式子，化简求出b，c所满足的关系式即可；
（2）由b=0代入（1）得到的式子可得c=-1，再把方程f（x）=g（x）化简并分离出a，令x^-1=t，将原条件转化为a=3t-t³在（0，+∞）上有唯一解，构造h（t）=3t-t³（t＞0），求出导数和临界点，并求出函数的单调区间，求出得到函数的极大值，可得到a的取值范围．

解答：解：（1）由g(-

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)-g(1)=f(0)得，（2b+4c）-（b+c）=-3，
∴b，c所满足的关系式为b-c-1=0．
（2）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1，
因为方程f（x）=g（x），即ax-3=-x^-2，
可化为a=3x^-1-x^-3，令x^-1=t，
由题意可得，a=3t-t³在（0，+∞）上有唯一解．
令h（t）=3t-t³（t＞0），由h′（t）=3-3t²=0，可得t=1，
当0＜t＜1时，由h′（t）＞0，可知h（t）是增函数；
当t＞1时，由h′（t）＜0，可知h（t）是减函数，
故当t=1时，h（t）取极大值2；
故当a=2或a≤0时，方程f（x）=g（x）有且仅有一个正实数解．
则所求a的取值范围为{a|a=2或a≤0}．

点评：本题考查了函数与方程的综合应用，利用换元法转化成二次方程进行求解，导数与函数单调性的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．