Question

已知函数f(x)=

ax2+1

bx+c

(a，b，c∈R)是奇函数，又f(1)=2，f(2)=

5

2

．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x∈（0，+∞）时，讨论函数的单调性，并写出证明过程．

Answer 1

分析：（1）先利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）求出c的值，再利用x=1和x=2的函数值列出关于a，b的方程组求出a，b即得；
（2）先任意取两个变量，且界定其大小，再作差变形看符号，注意变形到等价且到位．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数．
∴f（-x）=-f（x），
f(x)=

ax2+1

-bx+c

，-f(x)=

ax2+1

-bx-c

∴对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），

ax2+1

-bx+c

=

ax2+1

-bx-c

恒成立
∴c=0（2分）
又f(1)=

a+1

b

=2，且f(2)=

4a+1

2b

=

5

2

可得a=b=1（4分）
∴a=b=1，c=0（5分）
（2）f(x)=

x2+1

x

得x₁，x₂是（0，+∞）上任意两实数，且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=

x 2 1 +1

x1

-

x 2 2 +1

x2

=

x 2 1 x2+x2-x1 x 2 2 -x1

x1x2

=

x1x2(x1-x2)+(x2-x1)

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

（7分）
当x₁，x₂∈（0，1）时，x₁x₂-1＜0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）（9分）
当x₁，x₂∈（1，+∞）时，x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＜0即f（x₁）＜f（x₂）（11分）
∴f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．