Question

（2013•唐山一模）己知直线l的斜率为k，它与抛物线y²=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若

AF

=2

FB

，则|k|=（　　）

• A．2

  2

• B．

  3

• C．

  2

  4

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：设出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由

AF

=2

FB

代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系，由两个向量的模相等，结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值，代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式，解方程组可求解k的值．

解答：解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y²=4x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y2=4x y=kx+m

，得k²x²+（2km-4）x+m²=0．
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，即km＜1．
x1+x2=

4-2km

k2

，x1x2=

m2

k2

．
由y²=4x得其焦点F（1，0）．
由

AF

=2

FB

，得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）．
所以

1-x1=2x2-2① -y1=2y2②

，
由①得，x₁+2x₂=3 ③
由②得，x1+2x2=-

3m

k

．
所以m=-k．
再由

AF

=2

FB

，得|

AF

|=2|

FB

|，
所以x₁+1=2（x₂+1），即x₁-2x₂=1④
联立③④得x1=2，x2=

1

2

．
所以x1+x2=

4-2km

k2

=

5

2

．
把m=-k代入得

4-2k(-k)

k2

=

5

2

，解得|k|=2

2

，满足mk=-8＜1．
所以|k|=2

2

．
故选A．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答的关键是利用向量关系得到两个交点A，B的坐标的关系，同时灵活运用了抛物线的定义，属中高档题．