Question

已知抛物线y²=8x的准线过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线焦点到渐近线距离是

3

．

Answer 1

分析：算出抛物线的准线方程为x=-2，根据题意建立关于双曲线a、b、c的方程组，解出a=1、b=

3

、c=2．由此求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式加以计算，即可得出双曲线焦点到渐近线距离．

解答：解：∵抛物线y²=8x中，2p=8，
∴

p

2

=2，得抛物线的准线方程为x=-2．
又∵双曲线的离心率为2且一个焦点在抛物线y²=8x的准线上，
∴

c= a2+b2 =2 e= c a =2

，解之得a=1，b=

3

，c=2．
双曲线的焦点为（±2，0），渐近线方程为y=±

b

a

x即y=±

3

x，即

3

x±y=0
∴双曲线焦点到渐近线距离为d=

|±2 3 |

3+1

=

3

．
故答案为：

3

点评：本题给出双曲线的离心率，在它的焦点在已知抛物线的准线上时求双曲线的焦点到渐近线的距离．着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．