Question

满足C

1 n

+2C

2 n

+3C

3 n

+…+nC

n n

＜200的最大自然数n=

 

．

Answer 1

分析：令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，则有t=n

C

n n

+（n-1）

C

n-1 n

+（n-2）

C

n-2 n

+…+2

C

2 n

+

C

1 n

，相加可得2t=n×2ⁿ，再解不等式即可求得n的最大值．

解答：解：由题意令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ ①，
则有 t=n

C

n n

+（n-1）

C

n-1 n

+（n-2）

C

n-2 n

+…+2

C

2 n

+

C

1 n

 ②．
①即 t=

C

n-1 n

+2

C

n-2 n

+…+（n-2）

C

2 n

+（n-1）

C

1 n

+n

C

0 n

，
②即 t=n

C

n n

+（n-1）

C

n-1 n

+（n-2）

C

n-2 n

+…+2

C

2 n

+

C

1 n

，
把①和②按所给的方式对应相加可得
2t=n

C

n n

+n

C

n-1 n

+n

C

n-2 n

+…+n

C

2 n

+n

C

1 n

+n

C

0 n

=n（

C

n n

+

C

n-1 n

+

C

n-2 n

+…+

C

0 n

）=n×2ⁿ，
故n×2ⁿ＜400，验证知，最大的n是6，
故答案为：6．

点评：本题主要考查二项式定理，二项式系数的性质，本题较抽象，知识性强，解题时要注意公式与定理的使用，属于中档题．