Question

已知△AOB的顶点A在射线l：y=

3

x(x＞0)上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|•|MB|=3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）设P（-1，0），Q（2，0），求证：∠MQP=2∠MPQ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A，B两点关于x轴对称，得到AB边所在直线与y轴平行．设M（x，y），由题意得出x，y之间的关系即为点M的轨迹W的方程．
（Ⅱ）先设M（x₀，y₀）（x₀＞0），因为曲线x2-

y2

3

=1(x＞0)关于x轴对称，所以只要证明“点M在x轴上方及x轴上时，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．

解答：（Ⅰ）解：因为A，B两点关于x轴对称，
所以AB边所在直线与y轴平行．
设M（x，y），由题意，得A(x，

3

x)， B(x，-

3

x)，
所以|AM|=

3

x-y， |MB|=y+

3

x，
因为|AM|•|MB|=3，
所以(

3

x-y)×(y+

3

x)=3，即x2-

y2

3

=1，
所以点M的轨迹W的方程为x2-

y2

3

=1(x＞0)．
（Ⅱ）证明：设M（x₀，y₀）（x₀＞0），
因为曲线x2-

y2

3

=1(x＞0)关于x轴对称，
所以只要证明“点M在x轴上方及x轴上时，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．
以下给出“当y₀≥0时，∠MQP=2∠MPQ”的证明过程．
因为点M在x2-

y2

3

=1(x＞0)上，所以x₀≥1．
当x₀=2时，由点M在W上，得点M（2，3），
此时MQ⊥PQ，|MQ|=3，|PQ|=3，
所以∠MPQ=

π

4

， ∠MQP=

π

2

，则∠MQP=2∠MPQ；
当x₀≠2时，直线PM、QM的斜率分别为kPM=

y0

x0+1

， kQM=

y0

x0-2

，
因为x₀≥1，x₀≠2，y₀≥0，所以kPM=

y0

x0+1

≥0，且kPM=

y0

x0+1

≠1，
又tan∠MPQ=k_PM，所以∠MPQ∈(0，

π

2

)，且∠MPQ≠

π

4

，
所以tan2∠MPQ=

2tan∠MPQ

1-(tan∠MPQ)2

=

2× y0 x0+1

1-( y0 x0+1 )2

=

2y0(x0+1)

(x0+1)2- y 2 0

，
因为点M在W上，所以

x

2 0

-

y 2 0

3

=1，即y₀²=3x₀²-3，
所以tan2∠MPQ=

2y0(x0+1)

(x0+1)2-(3 x 2 0 -3)

=-

y0

x0-2

，
因为tan∠MQP=-k_QM，
所以tan∠MQP=tan2∠MPQ，
在△MPQ中，因为∠MPQ∈(0，

π

2

)，且∠MPQ≠

π

4

，∠MQP∈（0，π），
所以∠MQP=2∠MPQ．
综上，得当y₀≥0时，∠MQP=2∠MPQ．
所以对于轨迹W的任意一点M，∠MQP=2∠MPQ成立．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、双曲线方程等基础知识，考查运算求解能力、化归思想．属于中档题．