Question

（2009•长宁区二模）已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E，．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且法向量为

n

=(a，1)，直线与轨迹E交于P、Q两点．
①过P、Q作y轴的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记|PQ|=λ|AB|，试确定λ的取值范围；
②在x轴上是否存在定点M，无论直线l绕点F₂怎样转动，使

MP

?

MQ

=0恒成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由条件知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹E的方程即可．
（2）①当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用距离公式分别表示PQ|、|AB|，从而可求λ的取值范围；
②当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直关系即可求得m值，从而解决问题．

解答：解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线的右支．
轨迹方程为x2-

y2

3

=1(x≥1)．
（2）直线l的方程为a（x-2）+y=0，
由

y=-a(x-2) x2- y2 3 =1

得（a²-3）x²-4a²x+4a²+3=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由条件得

a2-3≠0 △=16a4-4(a2-3)(4a2+3)＞0 x1+x2= 4a2 a2-3 ＞0 x1x2= 4a2+3 a2-3 ＞0

解得a²＞3即a∈(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)．

①|PQ|=

1+a2

|x1-x2|，|AB|=|y₁-y₂|=|a||x₁-x₂|
由条件

n

=(a，1)，故x₁≠x₂，∴λ=

|PQ|

|AB|

=

1+a2

|a|

=

1+ 1 a2

，
因为a²＞3，因此λ∈(1，

2

3

3

)．
②设存在点M（m，0）满足条件，由

MP

?

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(a2+1)x1x2-(2a2+m)(x1+x2)+m2+4a2
=

3-(4m+5)a2

a2-3

+m2=0，
得3（1-m²）+a²（m²-4m-5）=0对任意a²＞3恒成立，
所以

1-m2=0 m2-4m-5=0

，解得m=-1，
因此存在定点M（-1，0）满足条件．

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合应用，主要考查用待定系数法求双曲线的标准方程，利用两个向量的数量积公式及双曲线的性质解决具体问题，体现了分类讨论的数学思想．