Question

已知函数f(x)=x²+ax+b，当p、q满足p+q=1时，试证明：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x，y都成立的充要条件是0≤p≤1

 

Answer 1

答案：
解析：

分析　 直接证难以入手，不妨从要证不等式出发，即改证为：pf(x)+qf(y)－f(px+qy)≥0对于任意实数x，y都成立的充要条件是0≤p≤1． 证明：　 因为f(x)=x2+ax+b，p+q=1，所以 pf(x)+qf(y)－f(px+qy) =p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)－(px+qy)2－a(px+qy)－b =(p－p2)x2－2pqxy+(q－q2)y2+(p+q)b－b =p(1－p)x2－2pqxy+q(1－q)y2 =pqx2－2pqxy+q(1－q)y2 =pq(x－y)2． (1)必要性若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)，则pq(x－y)2≥0． 由于(x－y)2≥0，所以pq≥0，即p(1－p)≥0，所以0≤p≤1． (2)充分性 若0≤p≤1，则p(1－p)≥0． 又(x－y)2≥0，所以pf(x)+qf(y)－f(px+qy)≥0， 即pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)． <