Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1．已知数列{b_n}满足b_n-2=3log₃a_n．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1，（n≥2）
两式相减，得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n，（n≥2）
又a₂=2S₁+1，∴a₂=3a₁．
所以{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴a_n=3^n-1．…（4分）
又∵b_n=3log₃a_n+2=3log₃3^n-1+2=3（n-1）+2=3n-1．
∴b_n=3n-1..…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得c_n=（3n-1）×3^n-1..…（8分）
∴T_n=2×1+5×3¹+8×3²+…+（3n-4）×3^n-2+（3n-1）×3^n-1，…（9分）
3T_n=2×3+5×3²+8×3³+…+（3n-4）×3^n-1+（3n-1）×3ⁿ，
两式相减，得：-2T_n=2+3×3+3×3²+…+3×3^n-1-（3n-1）×3ⁿ=-

1

2

-

6n-5

2

×3n，
∴Tn=

1

4

+

6n-5

4

•3n…（13分）
应改为：-2T_n=2+3×3+3×3²+…+3×3^n-1-（3n-1）×3ⁿ=-

5

2

-

6n-5

2

×3n，
∴Tn=

5

4

+

6n-5

4

•3n…（13分）