Question

设p：“定义在R上的可导函数在x=x₀处取得极值”，q：“f′（x₀）=0”，则p是q的条件．

1. A.
   充分不必要
2. B.
   必要不充分
3. C.
   充分且必要
4. D.
   既不充分也不必要

Answer 1

A
分析：根据函数在极值点的导数等于零，可得充分性成立．再由导数等于零的点不一定是极值点可得必要性不成立，从而得出结论．
解答：由极值的定义可得，函数在极值点的导数等于零，
故由p：“定义在R上的可导函数在x=x₀处取得极值”，可得q：“f′（x₀）=0”成立，故充分性成立．
但由于导数等于零的点不一定是极值点，如函数y=x³在x=0处得导数等于零，但函数在x=0处无极值，
故由q：“f′（x₀）=0”，不能退出p：“定义在R上的可导函数在x=x₀处取得极值”成立，即必要性不成立．
故命题p是命题q的充分不必要条件，
故选A．
点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的导数等于零的点与函数的极值点的关系，属于基础题．