Question

从四名男生和三名女生中任选3人参加演讲比赛．
（Ⅰ）求所选3人中至少有一名女生的概率；
（Ⅱ）ξ表示所选参加演讲比赛的人员中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记事件A为“所选3人中至少有一名女生”，分析可得，其对立事件

.

A

为“所选的3人全是男生”，借助组合公式与对立事件的概率公式，计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，易得 ξ 的可能取值为：0，1，2，3；分别求得其概率，进而可得分步列，由期望的计算公式，计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）记事件A为“所选3人中至少有一名女生”，
则其对立事件

.

A

为“所选的3人全是男生”．
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C 3 4

C 4 7

=1-

4

35

=

31

35

．（6分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为：0，1，2，3．
P(ξ=0)=

C 3 3

C 3 7

=

1

35

，P(ξ=1)=

C 1 4 C 2 3

C 3 7

=

12

35

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 3

C 3 7

=

18

35

，P(ξ=3)=

4

35

．（8分）
∴ξ的分布列为：
Eξ=0×

1

35

+1×

12

35

+2×

18

35

+3×

4

35

．（12分）

点评：本题考查对立事件的概率与根据分布列计算变量的期望，计算概率是涉及组合、排列，注意其公式的正确运用．