Question

已知函数y＝f(x)的图像过点(m－2，0)，m∈R，并且f(x－2)＝ax²－(a－3)x＋(a－2)，其中a为负整数，设g(x)＝f[f(x)]，F(x)＝pg(x)－4f(x)．

(1)求f(x)的表达式；

(2)是否存在正实数p，使F(x)在(－∞，f(2))上是增函数，且在(f(2)，0)上是减函数？若存在，求出p；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵图像过(m－2，0)点， 　　∴m是方程ax2－(a－3)x＋(a－2)＝0的解，即方程存在实根． 　　∴△≥0，从而求出a的值，便可得到f(x)的表达式． 　　(1)依题意ax2－(a－3)x＋(a－2)＝0有实根m， 　　∴△＝[－(a－3)]2－4a(a－2)≥0，得≤a≤． 　　∵a是负整数，∴a＝－1． 　　∴f(x－2)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1． 　　∴f(x)＝1－x2． 　　(2)由f(x)＝1－x2，可得f(2)＝－3，g(x)＝1－(1－x2)2＝2x2－x4． 　　F(x)＝p(2x2－x4)－4(1－x2)，先假设存在正实数p，使F(x)在(－∞，－3]上是增函数，且在(－3，0)上是减函数，由于F(x)是可导函数，∴(－3)＝0． 　　∵(x)＝4x(p＋2－px2)，由(－3)＝0，得 　　p＝，而当p＝时， 　　(x)＝4x(＋2x2)＝－x(x－3)(x＋3)； 　　当x＜－3时，(x)＞0，说明F(x)在(－∞，－3]上是增函数； 　　当－3＜x＜0时，(x)＜0，说明F(x)在(－3，0)上是减函数． 　　综上所述，满足条件的p存在且p＝． 　　解析：(1)根据图像过(m－2，0)点，知m是方程ax2－(a－3)x＋(a－2)＝0的解，即方程有实根，所以由△≥0可以求出a的范围，再由a为负整数，求出a的值； 　　(2)先求出f(2)，根据导数的性质，F(x)在x＝f(2)时导数为0，列方程求出p，然后验证p是否满足题意．