Question

已知函数，

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；

（Ⅲ）若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）时，有极小值，极小值为1.

（2）， 在上为增函数；

，时单调减区间为；单调增区间为

（3）＞或

【解析】

试题分析：解： （Ⅰ）当 时，  ，定义域为，

，当时，；当时，.

所以单调减区间为；单调增区间为，

故时，有极小值，极小值为1.                     3分

（Ⅱ），则

，       4分

因为所以令得.

若，即，则恒成立，则在上为增函数；

若，即，则时，，时，

所以此时单调减区间为；单调增区间为           7分

(Ⅲ)由第（Ⅱ）问的解答可知只需在上存在一点，使得.

若时，只需,解得,又,所以满足条件. 8分

若,即时，同样可得,不满足条件.        9分

若，即时，在处取得最小值，        10分

令，

即，所以              11分

设，考察式子,由,所以左端大于1,而右端小于1，所以不成立.

当，即时，在上单调递减，只需得

＞，又因为，所以，＞或         12分

考点：导数的运用

点评：主要是考查了运用导数研究函数单调性以及极值和最值的运用，属于中档题。