Question

已知空间四边形ABCD.

(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;

(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;

(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.

Answer 1

证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，

所以A、B、C、D四点共面

这与空间四边形ABCD的定义矛盾

所以对角线AC与BD是异面直线

 (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.

同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.

又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90^o.∴EFGH是矩形.

(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.