Question

已知向量

m

=(-2sin(π-x)，cosx)，

n

=(

3

cosx，2sin(

π

2

-x)，函数f(x)=1-

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积和两角和的正弦公式即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=-2sin(π-x)

3

cosx+2cosxsin（

π

2

-x）
=-2

3

sinxcosx+2cos²x
=-

3

sin2x+cos2x+1，
∴f（x）=1-

m

•

n

=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）．
解得-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

6

，
∵取k=0和1 且x∈[0，π]，得0≤x≤

π

3

和

11π

6

≤x≤π，
∴f（x）的单调递增区间为[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]．

点评：本题考查了向量的数量积和两角和的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．